博士生移民容易吗？
我认识的绝大多数phd 毕业后都留在美国了，并且获得了绿卡或者公民身份。因为美国博士毕业拿绿卡比欧洲容易太多——虽然拿到永久居留权后工作签证转绿卡会慢一点（要排期）但至少不用担心签证到期问题。而如果在欧洲拿到博士学位再找工作移民就相对容易很多。当然在美国博士毕业直接找工作的也不在少数。
当然美国也是有移民监的（相比欧盟国家）不过没有欧洲那么夸张。比如每年夏天学校放暑假的时候移民局就会来学校抓人（据说曾经有学校的学生还没结束实验就被移民局喊去问话）所以夏天也是留学生申请签证延期的好机会。 至于题主所说的奖学金的问题建议咨询一下目标学校的international office.不同的学校规定不同。一般情况来说phd的奖学金是自动续期的只要你的研究进行顺利没有中途停掉的情况奖学金是会一直持续到phd完成的。
以我的个人经验来看如果你真的认真做了研究并且有自己的成果发表(即使只是会议论文)签证延期和申请移民都会很容易。我认识的有绿卡和公民身份的博士大多是自己申请了学校的工作签证然后来的美国。来美国后先找到工作然后再慢慢申请移民的也有很多。这种就不用担心临时身份的问题了。 以上都是基于学生签证的角度来说的。如果是HR或者是其他非学生身份的申请者需要考虑的范围就会更广一些。具体可以咨询留学中介或者其他相关法律机构。